Teori Fermat

Banyak yang mengira bahwa Fermat adalah seorang ahli teori
bilangan, bahkan mungkin ahli teori bilangan yang paling terkenal yang pernah
hidup. Karena itu alangkah mengejutkannya bahwa pada kenyataannya Fermat adalah
seorang pengacara dan hanya seorang matematikawan amatir. Hal lain yang juga
mengejutkan adalah fakta bahwa ia hanya pernah menerbitkan sekali dalam
hidupnya karya dalam matematika, dan itupun ditulis tanpa nama yang disertakan
dalam apendik suatu buku teks.

Karena
Fermat menolak untuk menerbitkan karyanya, teman-temannya takut bahwa ia akan
segera dilupakan kecuali dilakukan sesuatu. Putranya, Samuel mengambil alih
pengumpulan surat
Fermat dan tulisan matematika lainnya, komentar yang ditulis di buku, dan
sebagainya dengan tujuan untuk menerbitkan gagasan matematika yang dimiliki
ayahnya. Dengan cara inilah ”Teorema Terakhir” yang terkenal diterbitkan. Hal
tersebut ditemukan oleh Samuel dalam catatan kecil ayahnya dalam salinan buku
Arithmetica karya Diophantus. Teorema terakhir Fermat menyatakan bahwa x^n +
y^n = z^n tidak mempunyai solusi bilangan bulat taknol untuk x, y dan z jika
n> 2.

Fermat
menuliskan bahwa “I have discovered a truly remarkable proof which this margin
is to small to contain”. Fermat juga hampir selalu menulis catatan kecil sejak
tahun 1603, manakala ia pertama kali mempelajari Arithmetica karya Diophantus. Ada kemungkinan Fermat
menyadari bahwa apa yang ia sebut sebagai remarkable proof ternyata salah,
karena semua teorema yang dia nyatakan biasanya dalam bentuk tantangan yang
Fermat ajukan terhadap matematikawan lain. Meskipun kasus khusus untuk n = 3
dan n = 4 ia ajukan sebagai tantangan (dan Fermat mengetahui bukti untuk kasus
ini) namun teorema umumnya tidak pernah ia sebut lagi. Pada kenyataannya karya
matematika yang ditinggalkan oleh Fermat hanya satu buah pembuktian. Fermat
membuktikan bahwa luas daerah segitiga siku- siku dengan sisi bilangan bulat
tidak pernah merupakan bilangan kuadrat. Jelas hal ini mengatakan bahwa tidak
ada segitiga siku-siku dengan sisi rasional yang mempunyai luas yang sama
dengan suatu bujursangkar dengan sisi rasional. Dalam simbol, tidak terdapt
bilangan bulat x, y, z dengan sehingga bilangan kuadrat. Dari sini mudah untuk
mendeduksi kasus n = 4, Teorema Fermat. Penting untuk diamati bahwa dalam tahap
ini yang tersisa dari pembuktian Fermat Last Theorem adalah membuktikan untuk
kasus n bilangan prima ganjil. Jika terdapat bilangan bulat x, y, z dengan maka
jika n = pq

Euler
pada tanggal 4 Agustus 1753 menyurati Goldbach mengklaim bahwa ia mempunyai
bukti Teorema Fermat untuk kasus n = 3. Akan tetapi bukti yang ditulis dalam
Algebra (1770) ini mengandung kekeliruan dan tampaknya jauh dari mudah untuk
memberikan bukti alternatif terhadap suatu pernyataan yang mengandung
kekeliruan bukti. Kesalahan yang dibuat Euler cukup menarik. Euler memerlukan
mencari bilangan pangkat tiga yang berbentuk p^2 + 3q^2 dan Euler menunjukkan
bahwa untuk setiap a, b jika kita tuliskan p = a^3 − 9ab^2, q = 3 (a^2b − b^3)
maka p^2 + 3q^2 = (a^2 3b^2)^3 . Ini benar, tetapi kemudian ia mencoba
menunjukkan bahwa jika p^2 + 3q^2 merupakan bilangan bulat pangkat tiga maka
ada a dan b yang membuat p dan q bersifat seperti di atas. Metode ini
melibatkan perhitungan dengan bilangan berbentuk a + yang tidak bersifat
sebagaimana bilangan bulat, dan hal inilah yang kurang mendapat perhatian dari
Euler. Langkah kemudian diambil oleh Sophie Germain. Suatu kasus khusus
mengatakan bahwa jika n dan 2n + 1 bilangan prima maka xn + yn = zn
mengakibatkan salah saatu dari x, y, z habis dibagi n. Dengan demikian Fermat
Last Theorem terbagi kedalam dua kasus.

Kasus
1: Tidak ada satupun dari x, y, z yang habis dibagi n. Kasus 2: Satu dan hanya
satu di antara x, y, z yang habis dibagi n. Kasus 2(i) dibuktikan oleh
Dirichlet dan dipresentasikan kepada Paris
Academy pada bulan Juli
1825. Legendre berhasil membuktikan kasus 2(ii) dan bukti lengkap untuk n = 5
yang diterbitkan pada bulan September 1825. Sebenarnya Dirichlet juga bisa
memberikan bukti sendiri untuk kasus n = 5 dengan menggunakan argumen untuk
kasus 2(ii) yang merupakan perluasan dari kasus 2(i). Pada tahun 1832,
Dirichlet menebitkan bukti Fermat Last Theorem untuk kasus n = 14. Tentu ia
mencoba untuk membuktikan kasus n = 7, tapi ia hanya mendapatkan hasil yang
lebih lemah. Kasus untuk n = 7 akhirnya dipecahkan oleh Lam´e pada tahun 1839.
Lame memperkenalkan suatu metode yang benar-benar baru. Bukti yang diberikan
Lame sangat sulit dan membuat orang mengira bahwa kemajuan pembuktian Fermat
Last Theorem untuk n yang lebih besar mendekati mustahil tanpa perubahan
pendekatan yang radikal. Tahun 1847 banyak kemajuan yang dicapai dalam studi
Fermat Last Theorem (FLT). Pada tanggal 1 Maret tahun tersebut Lame mengumumkan
pada Paris Academy bahwa ia telah membuktikan FLT.
Dia mensketsakan buktinya yang melibatkan pemfaktoran x^n + y^n = z^n ke dalam
faktor linier atas bilangan kompleks. Lame mendapatkan ide ini dari Liouville.
Namun Liouville kemudian menemui Lame dan mengatakan bahwa masalah dalam
pendekatan ini adalah ketunggalan pemfaktoran dalam bilangan prima diperlukan
untuk bilangan kompleks, dan ia meragukan bahwa hal tersebut benar. Dalam
minggu-minggu tersebut usaha keras dilakukan untuk mebuktikan ketunggalan
faktorisasi. Wantzel mengklaim bahwa ia telah mambuktikannya pada tanggal 15
Maret dengan argumen: hal tersebut benar untuk n = 2, n = 3 dan n = 4 dan
dengan menggunakan argumen yang sama hal tersebut jelas untuk n > 4.
(yang dibuktikan oleh Gauss).